Entwurf von Algorithmen zur Berechnung Liouvillescher Lösungen von linearen gewöhnlichen Differentialgleichungen

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Die Computer-Algebra ist ein Teilgebiet der Informatik, das sich mit der Entwicklung, Analyse und Implementierung algebraischer Algorithmen beschäftigt. Diese Algorithmen manipulieren abstrakte mathematische Datentypen symbolisch, um exakte Lösungen zu berechnen, ohne an Genauigkeit zu verlieren. Sie können formal spezifiziert werden und ermöglichen eine parametrisierte Problembehandlung. Im Gegensatz zu numerischen Algorithmen, die oft auf Existenzsätzen basieren, erfordern algebraische Algorithmen konstruktive Beweise und sind daher mathematisch anspruchsvoller. In diesem Buch werden algebraische Algorithmen entwickelt, die geschlossene Lösungsfunktionen, sogenannte Liouvillesche Lösungen, einer gewöhnlichen linearen Differentialgleichung vom Grad n berechnen oder nachweisen, dass solche Lösungen nicht existieren. Liouvillesche Funktionen sind jene, die sich durch eine endliche Anzahl von Quadraturen und algebraischen Erweiterungen darstellen lassen. Diese Klasse umfasst viele Funktionen, darunter alle algebraischen und die gängigen Standardfunktionen wie cos, sin und log. Gewöhnliche lineare Differentialgleichungen sind in vielen naturwissenschaftlichen Fragestellungen relevant, und symbolische Algorithmen sind aufgrund der komplexen Fehlerbehandlung numerischer Algorithmen besonders interessant.